The aljabar adalah cabang matematika yang menggunakan angka, huruf dan tanda-tanda untuk merujuk pada berbagai operasi aritmatika dilakukan. Saat ini aljabar sebagai sumber matematis digunakan dalam hubungan, struktur dan kuantitas. Aljabar dasar adalah yang paling umum karena merupakan salah satu yang menggunakan operasi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian karena, tidak seperti aritmatika, ia menggunakan simbol seperti xy sebagai yang paling umum daripada menggunakan angka.
Apa itu aljabar
Daftar Isi
Ini adalah cabang yang dimiliki matematika, yang memungkinkan untuk mengembangkan dan memecahkan masalah aritmatika melalui huruf, simbol, dan angka, yang pada gilirannya melambangkan objek, subjek, atau kelompok elemen. Hal ini memungkinkan untuk merumuskan operasi yang berisi bilangan yang tidak diketahui, yang disebut tidak diketahui dan yang memungkinkan pengembangan persamaan.
Melalui aljabar, manusia telah mampu menjelaskan secara abstrak dan generik, tetapi juga lebih maju, melalui perhitungan yang lebih kompleks, yang dikembangkan oleh intelektual matematika dan fisik seperti Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) atau Carl Friedrich Gauss (1777-1855), berkat kontribusinya kami memiliki definisi aljabar seperti yang dikenal saat ini.
Namun, menurut sejarah aljabar, Diophantus dari Alexandria (tanggal lahir dan kematian tidak diketahui, diyakini hidup antara abad ke-3 dan ke-4), sebenarnya adalah bapak dari cabang ini, saat ia menerbitkan sebuah karya berjudul Arithmetica, yang mana Ini terdiri dari tiga belas buku dan di mana dia mempresentasikan masalah dengan persamaan yang, meskipun tidak sesuai dengan karakter teoritis, cukup untuk solusi umum. Ini membantu mendefinisikan apa itu aljabar, dan di antara banyak kontribusi yang dia buat, itu adalah implementasi simbol universal untuk representasi yang tidak diketahui dalam variabel masalah yang akan dipecahkan.
Asal muasal kata "aljabar" berasal dari bahasa Arab dan berarti "pemulihan" atau "pengenalan". Dengan cara yang sama ia memiliki arti dalam bahasa Latin, yang berhubungan dengan "reduksi", dan, meskipun bukan istilah yang identik, artinya sama.
Sebagai alat tambahan untuk mempelajari cabang ini, Anda dapat mengandalkan kalkulator aljabar, yaitu kalkulator yang dapat menggambarkan fungsi aljabar. Memungkinkan dengan cara ini untuk mengintegrasikan, menurunkan, menyederhanakan ekspresi dan fungsi grafik, membuat matriks, menyelesaikan persamaan, di antara fungsi-fungsi lainnya, meskipun alat ini lebih sesuai untuk level yang lebih tinggi.
Di dalam aljabar adalah suku aljabar, yang merupakan hasil kali dari faktor numerik dari setidaknya satu variabel huruf; di mana setiap suku dapat dibedakan koefisien numeriknya, variabelnya diwakili oleh huruf dan tingkat suku saat menjumlahkan eksponen elemen literal. Artinya, untuk suku aljabar p5qr2, koefisiennya adalah 1, bagian literalnya adalah p5qr2, dan derajatnya adalah 5 + 1 + 2 = 8.
Apa itu ekspresi aljabar
Ini adalah ekspresi yang terdiri dari konstanta integer, variabel, dan operasi aljabar. Ekspresi aljabar terdiri dari tanda atau simbol dan terdiri dari elemen spesifik lainnya.
Dalam aljabar dasar, juga dalam aritmatika, operasi aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan masalah adalah: penjumlahan atau penjumlahan, pengurangan atau pengurangan, perkalian, pembagian, pemberdayaan (perkalian beberapa faktor kali) dan radikasi (operasi kebalikan dari potensiasi).
Tanda yang digunakan dalam operasi ini sama dengan yang digunakan untuk aritmatika untuk penjumlahan (+) dan pengurangan (-), tetapi untuk perkalian, X (x) diganti dengan titik (.) Atau dapat direpresentasikan dengan tanda pengelompokan (Contoh: cd dan (c) (d) ekuivalen dengan elemen “c” dikalikan dengan elemen “d” atau cxd) dan dalam pembagian aljabar digunakan dua titik (:).
Tanda pengelompokan juga digunakan, seperti tanda kurung (), tanda kurung siku, tanda kurung {}, dan garis horizontal. Tanda relasi juga digunakan, yaitu yang digunakan untuk menunjukkan bahwa ada korelasi antara dua data dan diantara yang paling banyak digunakan adalah sama dengan (=), lebih besar dari (>) dan kurang dari (<).
Juga, mereka dikarakterisasi dengan menggunakan bilangan real (rasional, yang meliputi positif, negatif dan nol; dan irasional, yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan) atau kompleks, yang merupakan bagian dari bilangan real, membentuk bidang tertutup secara aljabar.
Ini adalah ekspresi aljabar utama
Ada ekspresi yang merupakan bagian dari konsep aljabar, ekspresi ini diklasifikasikan menjadi dua jenis: monomial, yaitu ekspresi dengan tambahan tunggal; dan polinomial, yang memiliki dua (binomial), tiga (trinomial) atau lebih tambahan.
Beberapa contoh monomial adalah: 3x, π
Sedangkan beberapa polinomial dapat berupa: 4 × 2 + 2x (binomial); 7ab + 3a3 (trinomial)
Penting untuk disebutkan bahwa jika variabel (dalam hal ini "x") ada di penyebut atau di dalam akar, ekspresi tidak akan berupa monomial atau polinomial.
Apa itu aljabar linier
Bidang matematika dan aljabar ini adalah bidang yang mempelajari konsep vektor, matriks, sistem persamaan linier, ruang vektor, transformasi linier, dan matriks. Seperti yang dapat dilihat, aljabar linier memiliki berbagai penerapan.
Kegunaannya bervariasi dari studi tentang ruang fungsi, yang didefinisikan oleh himpunan X (horizontal) ke himpunan Y (vertikal) dan diterapkan pada vektor atau ruang topologi; persamaan diferensial, yang menghubungkan suatu fungsi (nilai yang bergantung pada nilai kedua) dengan turunannya (laju perubahan sesaat yang membuat nilai fungsi tertentu bervariasi); riset operasi, yang menerapkan metode analitis lanjutan untuk membuat keputusan yang tepat; untuk rekayasa.
Salah satu sumbu utama studi aljabar linier ditemukan dalam ruang vektor, yang terdiri dari sekumpulan vektor (segmen garis) dan sekumpulan skalar (bilangan real, konstan, atau kompleks, yang memiliki besaran tetapi karakteristik vektor arah).
Ruang vektor berdimensi hingga utama ada tiga:
- The vektor di Rn, yang mewakili koordinat Cartesian (horizontal sumbu X dan vertikal Y axis).
- The matriks, yang adalah sistem persegi panjang ekspresi (diwakili oleh angka atau simbol), ditandai oleh sejumlah baris (biasanya diwakili oleh huruf "m") dan jumlah kolom (dilambangkan dengan huruf "n"), dan mereka digunakan dalam sains dan teknik.
- Ruang vektor polinomial dalam variabel yang sama, yang diberikan oleh polinomial yang tidak melebihi derajat 2, memiliki koefisien nyata dan ditemukan pada variabel "x".
Fungsi aljabar
Ini mengacu pada fungsi yang sesuai dengan ekspresi aljabar, sekaligus memenuhi persamaan polinomial (koefisiennya dapat berupa monomial atau polinomial). Mereka diklasifikasikan sebagai: nilai rasional, irasional dan absolut.
- Fungsi rasional bilangan bulat adalah yang dinyatakan dalam:, di mana "P" dan "Q" mewakili dua polinomial dan "x" adalah variabel, di mana "Q" berbeda dari polinomial nol, dan variabel "x" tidak membatalkan penyebut.
- Fungsi irasional, di mana ekspresi f (x) mewakili akar, seperti ini:. Jika nilai "n" genap, akar akan didefinisikan sehingga g (x) lebih besar dari dan sama dengan 0, dan tanda hasil juga harus ditunjukkan, karena tanpanya, tidak mungkin untuk berbicara tentang suatu fungsi, karena untuk setiap nilai "x" akan ada dua hasil; sedangkan jika indeks akar ganjil, yang terakhir tidak diperlukan, karena hasilnya akan unik.
- Fungsi nilai absolut, di mana nilai absolut dari bilangan real akan menjadi nilai numeriknya tanpa mengesampingkan tandanya. Misalnya, 5 akan menjadi nilai absolut dari 5 dan -5.
Ada fungsi aljabar eksplisit, di mana variabel "y" adalah hasil dari penggabungan variabel "x" beberapa kali, menggunakan operasi aljabar (misalnya, penambahan aljabar), yang mencakup elevasi potensi dan ekstraksi akar; ini akan diterjemahkan ke y = f (x). Contoh dari jenis fungsi aljabar ini bisa jadi sebagai berikut: y = 3x + 2 atau yang akan sama: (x) = 3x + 2, karena "y" hanya dinyatakan dalam "x".
Di sisi lain, ada yang implisit, yaitu variabel “y” tidak diekspresikan hanya sebagai fungsi dari variabel “x”, jadi y ≠ f (x). Sebagai contoh dari jenis fungsi ini, kita memiliki: y = 5x3y-2
Contoh fungsi aljabar
Setidaknya ada 30 jenis fungsi aljabar, tetapi di antara yang paling menonjol, ada contohnya:
1. Fungsi eksplisit: ƒ () = sin
2. Fungsi implisit: yx = 9 × 3 + x-5
3. Fungsi polinomial:
a) Konstanta: ƒ () = 6
b) Derajat pertama atau linier: ƒ () = 3 + 4
c) Derajat kedua atau kuadrat: ƒ () = 2 + 2 + 1 atau (+1) 2
d) Derajat ketiga atau kubik: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Fungsi rasional: ƒ
5. Fungsi potensial: ƒ () = - 1
6. Fungsi radikal: ƒ () =
7. Fungsi menurut bagian: ƒ () = if 0 ≤ ≤ 5
Apa itu aljabar Baldor
Ketika berbicara tentang apa itu aljabar Baldor, itu merujuk pada sebuah karya yang dikembangkan oleh ahli matematika, guru, penulis dan pengacara Aurelio Baldor (1906-1978), yang diterbitkan pada tahun 1941. Dalam publikasi profesor, siapa lahir di Havana, Kuba, 5,790 latihan ditinjau, setara dengan rata-rata 19 latihan per tes.
Baldor menerbitkan karya lain, seperti "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" dan "Baldor Arithmetic", tetapi salah satu yang paling berpengaruh di bidang cabang ini adalah "Aljabar Baldor".
Namun, materi ini lebih direkomendasikan untuk tingkat pendidikan menengah (seperti sekolah menengah), karena untuk tingkat yang lebih tinggi (universitas) hampir tidak akan berfungsi sebagai pelengkap teks-teks lain yang lebih maju menurut tingkat tersebut.
Sampul terkenal yang menampilkan ahli matematika, astronom, dan ahli geografi Muslim Persia Al-Juarismi (780-846), telah merepresentasikan kebingungan di antara para siswa yang telah menggunakan alat matematika terkenal ini, karena diperkirakan bahwa karakter ini adalah tentang penulisnya Baldor.
Isi karya ini terbagi menjadi 39 bab dan lampiran, yang berisi tabel perhitungan, tabel bentuk dasar dekomposisi faktor dan tabel akar dan pangkat; dan di akhir teks adalah jawaban dari latihan.
Di awal setiap bab terdapat ilustrasi yang mencerminkan gambaran sejarah dari konsep yang akan dikembangkan dan dijelaskan di bawah ini, serta menyebutkan tokoh-tokoh sejarah yang terkemuka di lapangan, sesuai dengan konteks sejarah di mana rujukan konsep tersebut berada. Karakter-karakter ini berkisar dari Pythagoras, Archimedes, Plato, Diophantus, Hypatia, dan Euclid, hingga René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck, dan Albert Einstein.
Karena apa ketenaran buku ini?
Keberhasilannya terletak pada kenyataan bahwa, selain karya sastra wajib yang terkenal di sekolah menengah Amerika Latin, buku yang paling banyak dikonsultasikan dan lengkap tentang subjek tersebut, karena berisi penjelasan yang jelas tentang konsep dan persamaan aljabar mereka, serta data historis tentang aspek-aspek tersebut. untuk belajar, di mana bahasa aljabar ditangani.
Buku ini adalah inisiasi par excellence bagi siswa ke dalam dunia aljabar, meskipun untuk beberapa hal itu merupakan sumber studi inspirasional dan bagi yang lain itu ditakuti, kenyataannya adalah bibliografi wajib dan ideal untuk pemahaman yang lebih baik tentang topik yang dibahas..
Apa itu aljabar Boolean
Matematikawan Inggris George Boole (1815-1864), membuat sekelompok hukum dan aturan untuk melakukan operasi aljabar, sampai-sampai sebagian diberi nama. Karena alasan ini, ahli matematika dan ahli logika Inggris dianggap sebagai salah satu pelopor ilmu komputer.
Dalam masalah logis dan filosofis, hukum yang dikembangkan Boole memungkinkan untuk menyederhanakannya dalam dua keadaan, yaitu keadaan sebenarnya atau keadaan salah, dan kesimpulan ini dicapai melalui cara matematis. Beberapa sistem kendali yang diterapkan, seperti kontaktor dan relai, menggunakan komponen terbuka dan tertutup, yang terbuka adalah yang berjalan dan yang tertutup menjadi yang tidak. Ini dikenal sebagai semua atau tidak sama sekali dalam aljabar Boolean.
Status seperti itu memiliki representasi numerik 1 dan 0, di mana 1 mewakili benar dan 0 salah, yang membuat studi mereka lebih mudah. Menurut semua ini, komponen apa pun dari jenis apa pun atau tidak sama sekali dapat diwakili oleh variabel logis, yang berarti dapat menyajikan nilai 1 atau 0, representasi ini dikenal sebagai kode biner.
Aljabar Boolean memungkinkan untuk menyederhanakan rangkaian logika atau peralihan logika dalam elektronika digital; juga melaluinya, perhitungan dan operasi logika dari rangkaian dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepat.
Dalam aljabar Boolean terdapat tiga prosedur dasar, yaitu: hasil perkalian logika, fungsi gerbang AND atau perpotongan; jumlah logis, gerbang OR, atau fungsi penyatuan; dan negasi logis, fungsi gerbang NOT atau komplemen. Ada juga beberapa fungsi tambahan: negasi produk logis, gerbang NAND; negasi jumlah logis, gerbang NOR; jumlah logika eksklusif, gerbang XOR; dan negasi jumlah logis eksklusif, gerbang XNOR.
Dalam aljabar Boolean terdapat beberapa hukum, di antaranya adalah:
- Hukum pembatalan. Disebut juga hukum pembatalan, dikatakan bahwa dalam beberapa latihan setelah suatu proses, istilah independen akan dibatalkan, sehingga (AB) + A = A dan (A + B). A = A.
- Hukum identitas. Atau identitas elemen 0 dan 1, itu menetapkan bahwa variabel yang ditambahkan elemen nol atau 0, akan sama dengan variabel yang sama A + 0 = A dengan cara yang sama seperti jika variabel dikalikan dengan 1, hasilnya sama A.1 = a.
- Hukum idempoten. Menyatakan bahwa tindakan tertentu dapat dilakukan beberapa kali dan hasil yang sama, sehingga, jika Anda memiliki kombinasi A + A = A dan jika itu adalah disjunction AA = A.
- Hukum komutatif. Ini berarti bahwa tidak peduli urutan variabel yang, sehingga A + B = B + A.
- Hukum negasi ganda. O involusi, menyatakan bahwa jika penolakan diberikan penolakan lain hasil positif, sehingga (A ') = A.
- Teorema Morgan. Ini mengatakan bahwa jumlah beberapa variabel dinegasikan secara umum akan sama dengan produk dari setiap variabel dinegasikan secara independen, jadi (A + B) '= A'.B' dan (AB) '= A' + B '.
- Hukum distributif. Ini menetapkan bahwa ketika beberapa variabel digabungkan, yang akan dikalikan dengan variabel eksternal lain, itu akan sama dengan mengalikan setiap variabel yang dikelompokkan dengan variabel eksternal, sebagai berikut: A (B + C) = AB + AC.
- Hukum penyerapan. Dikatakan bahwa jika variabel A menyiratkan variabel B, maka variabel A akan menyiratkan A dan B, dan A akan "diserap" oleh B.
- Hukum asosiatif. Dalam disjungsi atau saat menggabungkan beberapa variabel, hasilnya akan sama terlepas dari pengelompokannya; sehingga dalam penjumlahan A + (B + C) = (A + B) + C (elemen pertama ditambah asosiasi dua terakhir, sama dengan asosiasi dua yang pertama ditambah yang terakhir).
